Mega-Sena: como calcular as chances para todos os tipos de apostas?

Quem nunca se reuniu com os amigos para fazer um bolão e tentar mudar a vida?
Acredito que a grande maioria…. e eu não sou diferente!

Em certa oportunidade, com a mega-sena acumulada, fui convidado a particiapr de um bolão entre amigos. Por uma questão de praticidade, os participantes não costumavam fornecer os números, pois preferiam que as apostas fossem geradas aleatoriamente pela Caixa. Cada um contribuiu com um valor referente à 10 apostas.

Um dos participantes ficou encarregado de fazer o jogo. Quando ele chegou, a maioria teve um choque pois ele tinha optado por fazer uma única aposta com 10 números!

Ai pairou aquela dúvida: o que é mais vantajoso?
Concorrer com várias apostas de 6 números é equivalente a uma única aposta e de 10 números?

A racionalidade me levava a crer que as probabilidades seriam equivalentes. Mas como verificar isso?

Premissas nosso estudo de caso

Vamos partir do princípio que temos um valor fixo para investir nas apostas. Por questões didáticas, vou utilizar o valor exato para uma aposta com 10 números, ou seja, conforme destacado abaixo, estou premissando que o valor total arrecadado no bolão foi R$ 945,00.

O estudo de caso será realizado em 3 etapas:

1 – Como calcular a probabilidade de ganhar na mega-sena com uma única aposta de 6 números?

2 – Qual a probabilidade de ganhar na mega-sena investindo todo o valor arrecadado no bolão em apostas de 6 números?

3 – Como calcular a probabilidade de ganhar na mega-sena com uma única aposta de 10 números?

Iniciemos nosso exercício!

Etapa 1: Como calcular a probabilidade de ganhar na mega-sena com uma única aposta de 6 números?

O racional para esse cálculo está disponível em diversos sites, e a própria Caixa já fornece essa informação no verso de cada volante de aposta:

O número destacado acima ilustra a quantidade de combinações de 6 números que podem ser formadas dentre os 60 números da mega-sena. O cálculo da probabilidade utiliza esse número. Ele é calculado por análise combinatória (combinações), cuja fórmula será apresentada abaixo:

Portanto, a probabilidade de uma única aposta ganhar na mega-sena é 1 em 50.063.860 ou percentualmente

Etapa 2:  Qual a probabilidade de ganhar na mega-sena investindo todo o valor arrecadado no bolão em apostas de 6 números?

Voltemos às nossas premissas: o investimento total é de R$ 945,00 e considerando que o custo de cada aposta de R$ 4,50, temos 210 apostas de 6 números. Qual a probabilidade desse volume de apostas acertarem a mega-sena?

De maneira similar ao cálculo de P1, calcularemos P210 da seguinte maneira:

Dessa forma, quando os 10 amigos investem R$ 945,00 para realizarem 210 apostas de 6 números, eles tem probabilidade de 0,0004195% de ganharem na mega-sena.

Etapa 3: Como calcular a probabilidade de ganhar na mega-sena com uma única aposta de 10 números?

A maioria das pessoas fica propensa a calcular as chances para apostas com mais de 6 números da mesma maneira que foi calculado na Etapa 1, mas isso é incorreto.

Quando a quantidade de números selecionados na aposta é diferente da quantidade de número sorteados, o cálculo da probabilidade é um pouco diferente, pois é necessário é encontrar a equivalência entre a aposta de 6 números e a aposta com mais números.

No nosso estudo de caso, a aposta possui 10 números.
Quantas apostas de 6 números equivalem a uma aposta com 10 números?

Para fazer esse cálculo, voltamos para a fórmula de combinações utilizada na Etapa 1, porém com o número de elementos n restrito a 10:

Ou seja, com uma aposta da mega-sena com 10 números podemos fazer 210 diferentes combinações de apostas com 6 números.

Se com uma aposta de 6 números temos 1:50.063.860 chance, com uma aposta de 10 números temos 210:50.063.860 chances, ou 1:238.399 (exatamente como ilustrado o site da caixa).

Nesse cenário, o cálculo do percentual de probabilidade de uma aposta de mega-sena com 10 números é

que é exatamente o mesmo percentual obtido na Etapa 2.

Conclusão:

Conforme previsto no início desse artigo, o estudo de caso conseguiu mostrar que as probabilidades de acertos independem da forma como as apostas são realizadas. Porém, mais importante do que demostrar algo aparentemente tão óbvio, é apresentar a forma como as probabilidades são calculadas e quais ferramentas matemáticas são utilizadas.

É importante observar que a escolha por várias apostas de 6 números permite a seleção de mais de 10 números dentre os 60 disponíveis. 

Também é relevante pontuar que, caso cada participante do bolão faça questão de sugerir os números de sua preferência, fazer uma aposta única com 10 números é praticamente impossível.

Bônus:

A tabela abaixo fornece todas as possibilidades de apostas na mega-sena (apostas de 6 a 15 números), as fórmulas para estimar as chances e o racional do cálculo do valor da aposta.